Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola 

BME TTK, Analízis Tanszék / Matematika Intézet

Témavezető: Dr. Petz Dénes

Nemkommutatív valószínűségszámítás, kvantum-információelmélet és megőrzési problémák

A kutatási téma néhány soros bemutatása

Kutatómunkám tárgya a nemkommutatív, vagy másképpen: kvantum-, valószínűségelmélet. A matematikának ezen a nagyon széles területén belül leginkább különböző entrópiák és varianciák vizsgálatával valamint kvantum-információelméleti alkalmazásokkal foglalkozom. Ezenkívül megőrzési problémákat is vizsgálok; a legfrissebb eredmények pozitív mátrixok művelet- és távolságmegőrző leképezéseit írják le – különféle műveleteket és általánosított távolságfogalmakat tekintve.

A kutatóhely rövid bemutatása

A munkám különböző témavezetőkön és társszerzőkön keresztül több kutatócsoporthoz is kapcsolt.

A BME TTK Analízis tanszékén Petz Dénes professzor vezetésével nemzetközi szinten elismert kutatómunka folyik kvantum-entrópia és kvantum-információelmélet témakörökben.

Az MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoportja többek között kvantummechanikai folyamatok tomográfiájával is foglalkozik, Hangos Katalin professzor asszony irányítása alatt. Az itt folyó kutatómunka ugyancsak nemzetközi szinten jegyzett.

A különböző csoportokban végzett munkám során részt vettem az OTKA K83440 és az OTKA K104206 projektekben.

MTA-DE Lendület Funkcionálanalízis Kutatócsoport Molnár Lajos professzor vezetésével főként kvantumstruktúrákkal, megőrzési problémákkal, operátoralgebrák transzformációival foglalkozik. A kutatócsoportban 2015. július elsejétől félállású tudományos segédmunkatársként fogok dolgozni. 

 

A kutatás történetének, tágabb kontextusának bemutatása

Mind a kvantum-valószínűségelmélet, mind a kvantum-információelmélet a matematika legaktívabban kutatott területeihez tartozik napjainkban, utóbbi tudományterület pedig a fizikai és mérnöki aspektusai miatt kifejezetten interdiszciplináris. A kvantum állapottranszformációk egy széles osztályával – az ún. Pauli-csatornákkal – a BME Analízis Tanszékén, valamint az MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoportjában kezdtem el foglalkozni – még a BSc és MSc képzések alatt –, Ruppert László illetve Hangos Katalin vezetésével. Később Petz Dénes doktoranduszaként mátrix varianciák és entrópiák kutatását kezdtem el. A legújabb kutatásaim általánosított relatív entrópiák – ún. Bregman divergenciák – tulajdonságairól, valamint különböző struktúraőrző leképezések meghatározásáról szólnak. A kutatásomnak ez a része Pitrik Józseffel és Molnár Lajossal közös.

A kutatás célja, a megválaszolandó kérdések

A kutatás az alábbi kérdéskörökkel foglalkozik:

 

1. A kvantum-információelméletben kitüntetett jelentőséggel bír az entrópia. A témakör egyik legjelentősebb eredménye, hogy a Neumann-entrópia erősen szubadditiív.

A Neumann-entrópia egy egyparaméteres kiterjesztése a Tsallis-entrópia, amely ugyan nem additív, de erősen szubadditív klasszikus valószínűségi eloszlások esetén. Nemkommutatív valószínűségi eloszlásokra (sűrűségi mátrixokra) azonban az erős szubadditivitás nem igaz általában.

Ez a tény két igen fontos kérdést vet fel: melyek azok a sűrűségi mátrixok, amelyekre a Tsallis-entrópia erősen szubadditív, és milyen (az erős szubadditivitáshoz hasonló, és lehetőleg éles) egyenlőtlenség igaz a Tsallis-entrópiára?

 

2. A kvantum-információelmélet egyik lényeges kérdése az állapottranszformációk tomográfiája. Az állapottranszformációk egy tág osztályát alkotják az általánosított Pauli-csatornák. A cél qubit illetve az n-qubit rendszereken ható Pauli-csatornák egy hatékony tomográfiáját leírni.

 

3. Fizikai szempontból is releváns a mátrix varianciák felbonthatóságának kérdése. A cél szükséges és elégséges feltételek meghatározása a variancia felbonthatóságára.

 

4. A 2x2-es pozitív definit mátrixok Jordan-hármasszorzat-tartó leképezéseinek meghatározása nemcsak önmagában érdekes, hanem egy lényeges lépés volt a háromdimenziós Einstein-gyrocsoport relativisztikus összeg-tartó leképezéseinek leírása felé, amely feladatot nem sokkal később abszolváltuk Molnár Lajossal közösen. Érdekes és nehéz feladatnak tűnik meghatározni a Möbius-gyrocsoport és a „Proper Velocity”-gyrocsoport folytonos algebrai endomorfizmusait, azaz a Möbius-összeget (ill. a PV-összeget) őrző folytonos leképezéseket. A háromnál magasabb dimenziós Einstein-gyrocsoportok vizsgálata is érdekes feladat, a háromdimenziós esetben használt legfontosabb eszköz hatástalan magasabb dimenzió esetén.

 

5. A pozitív mátrixok esetén Jensen- illetve Bregman-divergenciák tág osztályára határoztuk meg a pozitív mátrixok invariancia-transzformáció csoportját. Nyílt kérdés, hogy 3x3-as vagy annál nagyobb mátrixok esetén a kvantum Jensen-Shannon-divergencia (vagy Jensen-Neumann-divergencia) metrikát határoz-e meg? 2x2-es mátrixok esetén a válasz pozitív, vannak-e más Jensen-divergenciák, amelyeknek a gyöke metrika?

Módszerek

A Neumann-entrópia erős szubadditivitása levezethető a relatív entrópia monotonitásából.

Éppen ezért definiálunk egy leképezést, amely joggal tekinthető relatív Tsallis-entrópiának, és ennek a mennyiségnek a monotonitáshoz hasonló tulajdonságaiból származtatunk releváns egyenlőtlenségeket.

A mátrix varianciák felbonthatóságának kérdését átfogalmazzuk egy konvex geometriai problémává, és ez az átfogalmazás a megoldás egyik kulcsfontosságú lépése.

Egy kvantum-csatorna egy adott tomográfiás sémájának az optimalitását bizonyítani általában igen nehéz, viszont sokféle módszer áll rendelkezésre. A kutatás során mind analitikus, mind numerikus módszereket (pl. Monte-Carlo szimuláció) alkalmaztam.

 

A 2x2-es pozitív mátrixok Jordan-hármasszorzat-tartó leképezéseinek meghatározásához inkább ötletes lineáris algebrai és analízisbeli észrevételekre volt szükség, mint absztrakt matematikai eszközökre. Rendkívül lényeges körülmény, hogy 2x2-es mátrixok esetén olyan tulajdonságok esnek egybe, amelyek magasabb dimenzióban más különválnak, és olyan egyszerűsödéseket lehet észrevenni, amelyek magasabb dimenzióban már nem érvényesek. Hasonló módszereket, trükköket alkalmaztunk az Einstein-gyrocsoport endomorfizmusainak meghatározásakor is.

 

A Bregman- és Jensen-divergenciákat őrző leképezések meghatározásának kulcslépése, hogy ezek a leképezések szükségképpen rendezés-automorfizmusok, amelyeknek a leírása ismert.

Eddigi eredmények

Optimális tomográfiás eljárásokat terveztem ismeretlen irányú qubit Pauli-csatorna becslésére, az optimalitást pedig – célfüggvénytől függően – analitikus és numerikus módszerekkel bizonyítottam (túlsúlyban vannak az analitikus érvelések). Ennek a munkának az eredménye egy TDK-dolgozat, amely 1. díjat nyert a 2013-as OTDK-n, az Alkalmazott Matematika szekcióban, valamint egy publikáció, amely 2012-ben jelent meg a Journal of Physics A folyóiratban.

A mátrix varianciák dekomponálhatóságának kérdésében korábban születtek olyan publikációk, amelyek elégséges feltételeket adtak a dekomponálhatóságra. A Petz Dénessel közös dolgozatomban (, amely az Acta Sci. Math. (Szeged) folyóiratban jelent meg) szükséges és elégséges feltételt adok, vagyis karakterizálom a megfigyelhető mennyiségek azon halmazait, amelyekre az indukált mátrix variancia felbontható. A korábban ismert eredmények ennek a tételnek az egyszerű speciális eseteiként adódnak.

A kvantum Tsallis-entrópiával kapcsolatos eredményeim egy része a klasszikus állapotokra ismert erős szubadditivitás igazolása a nem-klasszikus állapotok egy (igen szűk) osztályára, valamint az erős szubadditivitás kérdésének átfogalmazása a relatív entrópiák nyelvére. Ezek a tételek itt olvashatók, a dolgozatot a Mathematical Inequalities and Applications folyóirat közölte.

Általánosabb, de a Tsallis-entrópiával kapcsolatban kifejezetten jól alkalmazható kérdést jár körbe a Pitrik Józseffel közös munkánk. Ebben a Bregman-divergencia együttes konvexitására adunk szükséges és elégséges feltételt. A karakterizációs tétel következménye egy a Tsallis-entrópiákra vonatkozó éles egyenlőtlenség, amely speciális esetként visszaadja a Neumann-entrópia erős szubadditivitását. Cikkünket a Letters in Mathematical Physics folyóirat közölte.

Meghatároztuk a 2x2-es pozitív definit mátrixok Jordan-hármasszorzat-tartó leképezéseit. Ennek a leírásnak két közvetlen következménye adódott. Egyrészt, pozitív mátrixok bizonyos általánosított távolságtartó leképezéseinek leírása adódott a 2x2-es esetben is (az eredeti munka, amely az nxn-es esetet tárgyalja, ha n>=3, Molnár Lajos és Szokol Patrícia munkája [16]). A másik következmény a kétdimenziós Hilbert-tér feletti effekt-algebra szekvenciális endomorfizmusainak leírása lett. Az a dolgozat, amely ezt a problémát nyílt kérdésként felveti,  Dolinar és Molnár munkája [17].

Nem közvetlen következmény, de szorosan kapcsolódik az iménti eredményhez az a munka, amelyben leírtuk a háromdimenziós Einstein-gyrocsoport relativisztikus összeg-tartó leképezéseit.

A legújabb kéziratunkban Bregman- és Jensen-divergenciák egy tág osztálya esetén sikerült az ezen távolságszerű mennyiségeket őrző leképezéseket meghatározni (az alaphalmaz a pozitív mátrixok kúpja) [7].

Várható impakt, további kutatás

Mind a Pauli csatornákkal kapcsolatos munka, mind az entrópiákhoz kapcsolódó vizsgálatok eredményei a szakterület jelentős folyóirataiban jelentek meg (J. Phys. A impakt faktora: 1.766, Math. Inequal. Appl. impakt faktora: 0.588).

A Bregman divergenciák együttes konvexitását karakterizáló munkánk a matematikai fizika egyik vezető lapjában jelent meg (a Letters in Mathematical Physics impakt faktora: 1.939).

A Molnár Lajossal közös két preprint a Journal of Mathematical Analysis and Applications folyóiratba (impakt faktora: 1.119) valamint a Journal of Mathematical Physics folyóiratba (impakt faktora: 1.243) lett beküldve. Mindkét folyóirat az adott terület kimondottan fontos fóruma.

A témában eddig publikált 4 folyóiratcikkre 13 független hivatkozás érkezett.

 

Továbbra is nyitott probléma az n-qubit rendszereken ható Pauli-csatornák optimális tomográfiájának megtalálása.

Igazán érdekes kérdésnek tűnik továbbá, hogy az operátor értékű Bregman-divergencia milyen feltételek mellett lesz együttesen konvex.

Használva az állapottér kvantum f-divergenciákat  őrző transzformációinak leírását, meg lehetne próbálni leírni a pozitív kúp kvantum f-divergenciákat  őrző transzformációit, vagy esetleg még általánosabban, a pozitív kúp kvázi-entrópiákat őrző leképezéseit. (Esetleg még az állapottér kvázi-entrópia-őrző leképezéseit.)

 

Saját publikációk, hivatkozások, linkgyűjtemény

Kapcsolódó saját publikációk listája.

 

Folyóiratcikkek:

[1] L. Ruppert, D. Virosztek, K. M. Hangos, Optimal parameter estimation of Pauli

channels, J. Phys. A 45 (2012), no. 26, 265305, 14 pp.; MR2942597

 

[2]  D. Petz, D. Virosztek, A characterization theorem for matrix variances, Acta Sci. Math. (Szeged) 80 (2014), 681–687.

 

[3]  D. Petz, D. Virosztek, Some inequalities for quantum Tsallis entropy related to the strong subadditivity, Math. Inequal. Appl. 18(2) (2015), 555–568.

 

 [4] J. Pitrik, D. Virosztek, On the joint convexity of the Bregman divergence of matrices, Lett. Math. Phys. 105(5) (2015), 675–692.

 

Preprintek, kéziratok:

[5]  L. Molnár, D. Virosztek, Continuous Jordan triple endomorphisms of P_2. Submitted to J. Math. Anal. Appl. (2015). Available at arXiv:1506.06223.

 

[6] L. Molnár, D. Virosztek, On algebraic endomorphisms of the Einstein gyrogroup. Submitted to J. Math. Phys. (2015). Available at arXiv:1506.06225.

 

[7]  L. Molnár, J. Pitrik, D. Virosztek, Maps on positive definite matrices preserving Bregman and Jensen divergences. Manuscript, (2015).

 

Konferenciacikkek:

[8] D. Virosztek, L. Ruppert and K. M. Hangos, Pauli channel tomography with unknown channel directions, 10th Central European Quantum Information Processing Workshop, 2013, Valtice, Csehország

 

[9] D. Virosztek, Decomposition of matrix variances and subadditivities of certain entropies,

16th Workshop on Non-commutative Harmonic Analysis: Random Matrices, representation theory and free probability with applications, 2014, Będlewo, Lengyelország

 

Hivatkozások listája:

[10] E. Carlen, Trace inequalities and quantum entropy: an introductory course, Contemp.

Math. 529(2010), 73 – 140.

 

[11] R. Y. Chen, J. A. Tropp, Subadditivity of matrix ϕ-entropy and concentration of

random matrices. arXiv:1308.2952v1, 13 Aug., 2013.

 

[12]S. Furuichi, Information theoretical properties of Tsallis entropies, J. Math. Phys. 47,

023302 (2006)

 

[13]F. Hansen, Z. Zhang, Characterization of matrix entropies, arXiv:1402:2118v1, 10 Feb., 2014.

 

[14] D. Petz, H. Ohno: Generalizations of Pauli channels. Acta Math. Hungar., 124,

165–177, 2009.

 

[15] D. Petz, G. Toth, Matrix variances with projections, Acta Sci. Math. (Szeged),

78(2012), 683–688.

 

[16] L. Molnár and P. Szokol, Transformations on positive definite matrices preserving generalized distance measures, Linear Algebra Appl. 466 (2015), 141–159.

 

[17] G. Dolinar and L. Molnár, Sequential endomorphisms of finite dimensional Hilbert space effect algebras, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012), 065207.